2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 4회 - [문제 2]
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)높이가 \(1\)인 정삼각형 \(ABC\)의 꼭짓점 \(A\)를 중심으로 하고 변 \(BC\)에 접하는 원이 있다. 오른쪽 그림과 같이 이 원을 직선 \(BC\)에 접한 채 거리 \(t\)만큼 (\(0 < t < 1\)) 평행이동한 원과 변 \(AB\), 변 \(AC\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(f(t)\)라고 하자.
2-1 함수 \(f(x) = \frac{\ln(x+\alpha)}{x+\alpha}\)에 대하여 방정식 \((f \circ f)(x) = \frac{1}{e}\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 \(\alpha\)의 범위를 구하시오. \(\left(\text{단, } \lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\right)\) (30점)
2-2 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 네 조건
\[ f'(1) < 0, \quad f'(-1) > 0, \quad f'(-1) - f'(1) = 23, \quad f(1) = f(-1) = 0 \]
을 만족시킨다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(A(-1, 0)\)에서의 접선과 점 \(B(1, 0)\)에서의 접선의 교점을 \(P\), 삼각형 \(APB\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(\cot(\angle APB)\)를 \(S\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)
2-3 제시문의 도형에 대하여 도함수 \(f'(t)\)를 구하시오. (40점)